АЛГЕБРА ТА ТЕОРІЯ ЧИСЕЛ
АНОТАЦІЯ
Курс має на меті ознайомлення з основними поняттями загальної алгебри такі, як поля і кільця, та їх властивостями. Розглядаються поле комплексних чисел, 
 кільце цілих чисел, кільця многочленів, будуються скінчені поля і поля часток. Досліджуються алгебраїчні рівняння над вказаними полями та кільцями, 

.
Розділ 1. Поле комплексних чисел.
1.! Означення комплексних чисел, дії над комплексними числами в алгебраїчній формі. 
2.! Поле комплексних чисел. 
3.! Геометричне зображення комплексного числа. 
4.! Тригонометрична форма комплексного числа. Модуль і аргумент комплексного числа.  Множення і ділення комплексних чисел в тригонометричній формі. 
5.! Піднесення до степеня комплексних чисел в тригонометричній формі.  Формула Муавра. 
6.! Видобування кореня з комплексних чисел в тригонометричній формі. Корені з одиниці, 
7.  Первісні корені з одиниці, показники.
8.!  Властивості спряжених комплексних чисел. 
9.!  Показникова форма комплексного числа. Формули Ейлера. 
10. Логарифм від комплексного числа.
Література: обов’язкова  1,2,4; 

Розділ 2. Арифметика натуральних чисел
10.! Подільність натуральних чисел. Властивості.
11.! НСД, НСК: означення, обчислення.
12.! Алгоритм Евкліда. 
13.!Прості числа та їх властивості. 
14. Теорема Евкліда (про нескінченість множини простих чисел.)
15. Взаємно прості числа та їх властивості. 
16.! Основна теорема арифметики. 
17. Решето Ератосфена, розподіл простих чисел. 
18.! Ділення з остачею. Властивості лишків.
19. Китайська теорема про лишки. 
20.! Класи лишків.  Повна і зведена системи лишків.
21! Зведена система лишків і примітивні класи. Теорема Ейлера, мала теорема Ферма.
22! Поняття фактор-кільця. Кільця лишків. 
23. Прості поля.
24. Лінійні порівняння з однією змінною. 
25. Порівняння з однією змінною вищих степенів.
26 Квадратичні лишки та квадратичні нелишки 
27. Застосування конгруенцій до розв’язування лінійних діофантових рівнянь.
Література: обов’язкова  1,2; додаткова  5,6,8.

Розділ 3. Алгебраїчні структури.
28.! Основні алгебраїчні структури: поле, кільце, група. Означення, приклади.
29. Група, підгрупа, нормальна підгрупа: означення, приклади.
30. Гомоморфізм груп: означення, приклади.
31. Властивості ядра гоморфізму груп.
32. Циклічні групи: означення, приклади.
33. Гомоморфізм кілець: означення, приклади. 
34. Підкільце, ідеал кільця, лівий ідеал, правий ідеал
35. Ядро гомоморфізму кілець: означення, приклади, властивості.
36. Просте поле. Поле лишків за простим модулем.

Розділ 4. Многочлени.

37.	 Побудова кільця многочленів від однієї змінної. Степінь многочлена. 
38.	! Теорема про ділення з остачею. Схема Хорнера. Теорема Безу.
39.	Алгебраїчна і функціональна рівності многочленів.
40.	! Кількість коренів полінома в комутативному кільці, яке не має дільників нуля. 
41.	! Подільність многочленів. Ділення з остачею. 
42.	! НСД, НСК многочленів. 
43.	! Взаємно прості многочлени, їх властивості. 
44.	! Незвідні многочлени, їх властивості. 
45.	Теорема про розклад многочлена  на незвідні множники.

Питання до заліку (2 частина)

1.	Поле раціональних дробів над областю цілісності.
2.	Поле раціональних дробів над кільцем многочленів. 
3.	Значення раціональних дробів
4.	 Подільність в довільному кільці. Одиниці, асоційовані елементи. Означення і приклади факторіальних кілець.
5.	Кільце лишків за поліномом
6.	Примітивні класи лишків за модулем полінома та їх властивості.
7.	Кільце лишків за незвідним поліномом
8.	Просте розширення поля.
9.	Побудова простого трансцендентного розширення поля. 
10.	Побудова простого алгебраїчного розширення поля.
11.	 Виключення ірраціональності в знаменнику.
12.	Теорема про ізоморфізм простих алгебраїчних розширень поля
13.	Теорема про ізоморфізм простих трансцендентних розширень поля.
14.	Означення кільця многочленів від багатьох змінних як сум одночленів
15.	Найвищий член поліному від багатьох змінних. Найвищий член добутку двох поліномів (з доведенням).
16.	Індуктивна побудова кільця многочленів від багатьох змінних
17.	Значення поліномів від багатьох змінних
18.	Теорема про тотожність для многочленів багатьох змінних.
19.	Симетричні поліноми. Основні або елементарні симетричні поліноми:
20.	Лема про показники в вищому члені симетричного полінома ( з дов.)
21.	Довести, що відмінний від нуля поліном від основних симетричних поліномів відмінний від нуля і як поліном від .
22.	Основна теорема теорії симетричних поліномів (з дов.). 
23.	Узагальнена теорема Вієта (з дов).	
24.	 Дискримінант полінома. 
25.	Результант двох многочленів
26.	Подання дискримінанта у вигляді визначника.
27.	Редукція поліномів з цілими коефіцієнтами за числовим модулем. 
28.	Примітивні поліноми, їх властивості.
29.	Раціональні корені поліномів з цілими коефіцієнтами ( з дов.).
30.	Лема Гауса ( з дов.).
31.	Теорема Гауса ( з дов.)
32.	Теорема про факторіальність кільця многочленів на кільцем цілих чисел ( з дов).

ОБОВ’ЯЗКОВА ЛІТЕРАТУРА
1.Фаддеев Д.А. Лекции по алгебре. – М.: Наука, 1984.
2.Уткіна С.В., Наришкіна Л.С. Алгебра і числові системи. – К.: Вища школа,1995
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977.
4 Виноградов И.М. Основы  теории чисел. – М.: Наука, 1964
5. Фаддеев Д.К., Соминский И.С.  Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Наука, 1971.
6. Завало С.Т., Левищенко С.С., Пылаев В.В., Рокицкий И.А. “Алгебра и теория чисел. Практикум. Частина 2. – К.: Вища шк., 1986.
ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА
5. Ван дер Варден Б. Алгебра, – М.: Наука, 1979.
6. Ленг  С. Алгебра. – М.: Мир, 1968.
7. Курош А. Г.  Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1975.
8. Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. – М.: Наука, 1980.